Насколько помню, после покупки в течение 5 суток авто регистрируется. До истечения этого срока ПТС и договора купли-продажи вполне достаточно.
Но для снятия вопросов советую позвонить просто в ГИБДД.
1 адрес регистрации - Модельная,10 (843)278-54-48 - справочная. Пн 14.00-18.00, Вт-Пт 9.00-18.00, Сб 9.00-17.00, Вс 9.00-15.00
2 адрес регистрации - Оренбургский тракт,5 (843)533-38-88
3 адрес регистрации - Тэцевская,5 (843)571-91-07. Пн-Пт 9.00-18.00, Сб-Вс 8.00-17.00
По быстроте - как повезет. По поводу ускорения - советую тоже в справочной узнать. Знаю что на
http://uslugi.tatar.ru/gibdd есть электронная запись.