Лямда-зонд, он же датчик кислорода. Да при поломке лямбда-зонда могут измениться мощностные характеристики двигателя, загореться лампа чек и занесена ошибка. Но описанная проблема ( особенно при выключенной передачи) мало вероятна. Скорее регулятор ХХ, датчик положения коленвала. Но даже при этом совсем не понятно причем тут разные передачи. А на диагностики не могли поменять лямбда-зонд на заведомо исправный. В любом случае это гарантийный случай.
Древовидный вид